Se eu estiver num sítio e a hora de rezar chegou, e não tem tapete ou qualquer coisa para realizar a oração, posso realizá-la mesmo sem tapete?

Sim, pode realizá-la sem tapete, mas o lugar tem que estar limpo.
Evidência Da Sunnah:
Disse o Profeta Muhammad ﷺ:Foi feita a terra um lugar de oração e de purificação para mim, então qualquer homem da minha nação que encontrar oração, deve realizá-la. [Al-Bukhari e Muslim]